WEYL (H.)


WEYL (H.)
WEYL (H.)

La caractéristique la plus surprenante de l’œuvre de Weyl est son extraordinaire diversité et, malgré les brusques passages d’un domaine de recherche à un autre qui jalonnent sa vie, son influence fut grande.

«Son œuvre, écrivent C. Chevalley et A. Weil, a grandement contribué à ce changement de vision qui a fait passer de la mathématique classique, fondée sur le nombre réel, à la mathématique moderne, fondée sur la notion de structure. L’emploi systématique et tout abstrait du revêtement universel, la notion de variété analytique complexe, l’emploi courant et la popularisation, jusque parmi les physiciens, de l’algèbre vectorielle et du concept de représentation d’un groupe, tout cela vient avant tout de lui.»

Éléments biographiques

Hermann Weyl est né le 9 novembre 1885 dans la petite ville d’Elmshorn, près de Hambourg. À l’âge de dix-huit ans, il s’inscrit à l’université de Göttingen où il restera (à l’exception d’une année passée à Munich) comme étudiant, puis comme professeur, jusqu’en 1913; la présence de F. Klein, de D. Hilbert et de H. Minkowski fait alors de Göttingen l’un des plus grands centres mathématiques du monde. En 1913, Weyl est nommé professeur à Zurich; il ne quittera cette ville que pour revenir à Göttingen en 1930 occuper la chaire de Hilbert. Mais son séjour est de courte durée, car, en 1933, devant la montée du nazisme et les persécutions dont les professeurs étaient l’objet, il quitte l’Allemagne et accepte un poste de membre permanent à l’Institute for Advanced Study de Princeton (New Jersey). Il meurt d’une crise cardiaque à Zurich le 8 décembre 1955.

H. Weyl a publié plus de cent cinquante livres et articles et il est hors de question ici même de mentionner tous les sujets auxquels il s’est intéressé; on se contentera de citer ses travaux les plus importants.

Problèmes aux limites singuliers

La thèse de Weyl (1910) est consacrée à l’étude du problème de Sturm-Liouville sur R+. Si L est un opérateur linéaire du second ordre auto-adjoint:

la théorie de Hilbert-Schmidt (cf. équations DIFFÉRENTIELLES, chap. 3) montre que, pour tout intervalle compact [0, l ], il existe une suite discrète de valeurs propres positives (c’est le spectre de u ) pour lesquelles l’équation L(u ) =u admet une solution non triviale satisfaisant aux conditions limites u (0) = au (0) et u (1) = bu (1), où a et b sont des constantes réelles quelconques. Weyl montre que le passage à la limite pour l+ 秊 fait en général apparaître un spectre continu, le développement de Sturm-Liouville (cf. polynômes ORTHOGONAUX) étant remplacé par des formules analogues à l’intégrale de Fourier. Par passage au cas où est complexe, il met en évidence une dichotomie dans le comportement des solutions pour fixé et pour l + 秊: ou bien, pour tout, l’équation L(u ) =u a une solution unique à un facteur près de carré sommable sur R+ (cas du «point limite»), ou bien toutes les solutions sont, pour tout complexe, de carré sommable sur R+ (cas du «cercle limite»).

Dans un article de 1911, Weyl, en vue d’applications à la théorie de l’élasticité, reviendra sur la répartition des valeurs propres.

Tous ces résultats de Weyl sur les opérateurs annoncent les travaux de J. von Neumann sur les opérateurs non bornés.

Les fondements «géométriques» de la théorie des fonctions

La première édition du livre de Weyl Die Idee der Riemannschen Fläche paraît en 1913. Citons de nouveau Chevalley et Weil: «C’est en élève de Hilbert encore, et en analyste, que Weyl dut aborder le sujet d’un des premiers cours qu’il professa à Göttingen comme jeune privatdozent, la théorie des fonctions selon Riemann. Le cours terminé et rédigé, il se retrouva géomètre et auteur d’un livre qui devait exercer une profonde influence sur la pensée mathématique de son temps.»

F. Klein avait généralisé la notion de surface de Riemann mais n’avait pu, en l’absence de concepts topologiques, dépasser le stade des considérations intuitives. S’inspirant d’articles de L. Brouwer (eux-mêmes inspirés par Poincaré), Weyl définit, dans la tradition axiomatique de Hilbert, la notion abstraite de variété complexe de dimension 1 et donne la première théorie rigoureuse de l’orientation, de l’homologie et de l’homotopie sur une telle surface. On lui doit sous sa forme définitive le théorème d’uniformisation qui affirme que le recouvrement universel d’une surface de Riemann (connexe) est représentable conformément sur la sphère de Riemann, le plan complexe ou le disque unité de ce plan, qui sont donc les trois seuls types de surfaces de Riemann connexes et simplement connexes (cf. FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentantion conforme, chap. 3).

Le livre de Weyl pose les fondements géométriques de la théorie des fonctions algébriques d’une variable complexe et la notion de variété qui y est définie pour la première fois a eu le succès que l’on sait. La troisième édition, datée de 1955, est en fait un ouvrage entièrement nouveau dans lequel l’auteur reprend, très épuré et simplifié, l’exposé de 1913.

Répartition modulo 1

En 1916, Weyl publie un mémoire d’arithmétique qui allait se révéler lié à des questions d’analyse harmonique: étude des sommes d’exponentielles et fonctions presque périodiques.

Une suite x = (x n ) de nombres réels est dite également répartie modulo 1 (cf. approximations DIOPHANTIENNES, chap. 6) si, pour tout intervalle [a , b ] contenu dans [0, 1], le nombre de termes x k de la suite dont les parties fractionnaires sont dans [a , b ] et tels que k n est asymptotiquement équivalent à (b a )n ; cela signifie intuitivement que le nombre de termes de la suite dont la partie fractionnaire est dans [a , b ] est «asymptotiquement proportionnel à la longueur de l’intervalle [a , b ]». Weyl montre que cela équivaut à dire que, pour tout entier relatif k non nul, la moyenne arithmétique:

e k (t ) = exp (2 ikt ) tend vers zéro pour n tendant vers l’infini; c’est le critère de Weyl. Par une remarquable démonstration (qui sera reprise et perfectionnée par G. H. Hardy et J. E. Littlewood, puis par I. M. Vinogradov et son école, et qui est une méthode devenue classique en théorie additive des nombres: cf. théorie des NOMBRES Théorie analytique des nombres, chap. 1), Weyl établit que, si P est un polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est irrationnel, alors la suite (P(n )) est également répartie.

Relativité et géométrie différentielle

Comme on l’a déjà souligné, l’œuvre de Weyl se caractérise par sa diversité et son passage imprévu d’une branche de la science à une autre. En 1916, il publie un article consacré au célèbre problème de la rigidité des corps convexes, déjà étudié par A.-L. Cauchy puis par D. Hilbert. Weyl pose le problème sous une forme plus générale grâce à la notion de variété abstraite et donne un très ingénieux canevas de la démonstration du résultat suivant: Toute variété riemannienne abstraite compacte, simplement connexe, de dimension 2 et de courbure positive en tout point, est plongeable isométriquement dans l’espace euclidien R3, de manière unique à isométrie près; cette démonstration a été complétée ultérieurement par L. Nirenberg.

Pendant l’année 1913, Weyl avait été, à l’Institut de technologie de Zurich, le collègue d’Einstein, qui venait de découvrir la relativité générale; depuis cette date, Weyl n’avait cessé de s’intéresser à la relativité et, dès sa démobilisation en 1916, il fait une série de conférences sur ce sujet dans cette même ville de Zurich qu’Einstein avait quittée pour Berlin. C’est l’origine de son célèbre livre Raum-Zeit-Materie , paru en 1918, qui connut cinq éditions progressivement augmentées pour aboutir au grand traité de 1923. Dès la troisième édition se trouve exposée la «théorie unitaire» de Weyl, tentative pour présenter dans un même cadre mathématique unificateur la gravitation et l’électromagnétisme; il s’agit de l’étude de ce que l’on appellerait aujourd’hui une connexion linéaire liée au groupe des similitudes, conservant à un facteur constant près une forme quadratique de signature (1, 3). Bien que cette théorie n’ait pas eu un succès durable en physique, elle a amené Weyl à développer de nombreuses techniques de géométrie riemannienne qui ont annoncé les recherches de Veblen sur la géométrie différentielle projective et celles de Cartan sur les «espaces généralisés».

Enfin, ce sont toujours des préoccupations relativistes, à savoir la recherche d’une justification profonde de l’emploi d’une variété riemannienne comme modèle physique de l’Univers, qui ont amené Weyl à reprendre, dans une série d’articles, le «problème de l’espace» déjà étudié par Sophus Lie (cf. l’article LIE).

Groupes de Lie

Les techniques de la relativité (calcul tensoriel, recherche d’invariants), tout autant que le problème de l’espace, devaient conduire Weyl à l’étude des groupes de Lie classiques et de leurs représentations. Les mémoires sur ce sujet publiés de 1925 à 1927 constituent l’œuvre mathématique majeure de Weyl. Ces résultats sont exposés dans le chapitre 6 de l’article GROUPES - Groupes de Lie. On se contentera ici d’indiquer le contenu des quatre parties du grand mémoire de 1925-1926 intitulé Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen : complète réductibilité du groupe spécial linéaire SL(n , C); calcul explicite des caractères et des représentations simples de ce groupe; extensions aux groupes orthogonaux et symplectiques, puis aux groupes semi-simples généraux.

On doit aussi à Weyl la notion d’algèbre de groupe d’un groupe de Lie compact, c’est-à-dire l’algèbre pour le produit de convolution des fonctions intégrables sur le groupe pour la mesure invariante, qu’il applique à l’étude des coefficients des représentations; après la découverte par A. Haar en 1931, sur tout groupe localement compact, de la mesure qui porte son nom, les techniques de Weyl allaient se transposer sans difficultés et constituer le point de départ de l’analyse harmonique abstraite (cf. analyse HARMONIQUE, chap. 4).

Philosophie des sciences

Weyl s’est occupé toute sa vie de philosophie scientifique et de logique et a exposé ses conceptions dans de nombreux articles. On retiendra ici seulement sa prise de position aux côtés de L. Brouwer en faveur de l’intuitionnisme [cf. LOGIQUE MATHÉMATIQUE]. En effet, Weyl, bien que formé à l’école de Hilbert dont il adopte la méthode axiomatique (comme on l’a vu à propos de son livre sur les surfaces de Riemann), s’est violemment opposé à la conception hilbertienne de la démonstration (cf. l’article HILBERT, chap. 5): «Les mathématiques de Hilbert peuvent être un charmant petit jeu avec des formules, plus amusant même que les échecs; mais quelle connaissance ce jeu peut-il apporter, puisqu’on admet que ses formules n’ont pas une signification concrète par laquelle elles pourraient exprimer une vérité intuitive?»

Encyclopédie Universelle. 2012.

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